مرگبارترین خطای ریاضی ۲۰۲۰

خیلی از مردم فرض می‌کنند که شیوع ویروس خطی است، اما اگر مهار نشود رشدش نمایی خواهد بود

یک اشتباه ساده ریاضی شاید بتواند توضیح دهد که چرا خیلی از مردم خطر ویروس کرونا را دست‌کم می‌گیرند و از فاصله‌گذاری اجتماعی، زدن ماسک و شستن دست‌هایشان اجتناب می‌کنند.

تصور کنید که بانک به شما قول داده است که پولتان را هر سه روز دو برابر کند. اگر همین امروز فقط یک دلار سرمایه‌گذاری کنید، حدودا چقدر طول می‌کشد تا میلیونر شوید؟

یک سال؟ شش ماه؟ صد روز؟

پاسخ دقیق ۶۰ روز بعد از سرمایه‌گذاری اولیه است که تراز حسابتان دقیقا ۱٫۰۴۸٫۵۷۶ دلار می‌شود. ۳۰ روز بعد از آن سرمایه شما میلیاردی خواهد شد. و بعد از یک سال بیش از ۱٫۰۰۰٫۰۰۰٫۰۰۰٫۰۰۰٫۰۰۰٫۰۰۰٫۰۰۰٫۰۰۰٫۰۰۰٫۰۰۰٫۰۰۰٫۰۰۰ دلار پول خواهید داشت - یک "سکستیلیون" دلار.

اگر پاسخی که به این پرسش دادید خیلی پرت بود، اشکالی ندارد. شما تنها نیستید. خیلی‌ها مرتبا سرعت افزایش این مقادیر را دست‌کم می‌گیرند - اشتباهی که به "انحراف رشد نمایی" معروف است - و با وجود اینکه در ظاهر خیلی انتزاعی به نظر می‌رسد، شاید حاوی تبعات عمیقی برای رفتار امسال مردم بوده است.

چند پژوهش مختلف نشان داده است که افرادی که بیش از دیگران مرتکب این اشتباه می‌شوند نگرانی کمتری نیز بابت شیوع کووید-۱۹ دارند و در عین حال استقبال کمتری از تمهیداتی مثل فاصله‌گذاری اجتماعی، شستن دست‌ها یا زدن ماسک می‌کنند. به زبان ساده، این اشتباه ساده ریاضی شاید جان خیلی‌ها تا امروز گرفته باشد. برای همین تصحیح این انحراف قدمی الزامی برای مسطح کردن نمودار و اجتناب از موج دوم همه‌گیری در سراسر دنیا است.

برای یافتن ریشه این انحراف مشخص باید انواع مختلف رشد را در نظر بگیریم. رشد "خطی" برای همه ما آشنا است. اگر درخت سیب شما روزی سه تا سیب بدهد، شما بعد از دو روز شش تا سیب خواهید داشت، بعد از سه روز نه تا سیب، و الی آخر.

اما رشد نمایی با گذر زمان شتاب می‌گیرد. شاید ساده‌ترین مثال رشد جمعیت باشد؛ هر چه تعداد افرادی که تولید مثل می‌کنند بیشتر باشد، رشد جمعیت نیز سریعتر می‌شود. یا اگر تنها علف هرز باغچه شما هر روز سه برابر شود، شاید در ابتدا مشکل بزرگی به حساب نیاید - فقط سه تا علف هرز در روز دوم و نه تا در روز سوم - اما به سرعت تشدید خواهد شد.

ما چندین قرن است که می‌دانیم نادیده گرفتن رشد نمایی گرایشی عمده در بین انسان‌ها است. بنا بر یک افسانه هندی، می‌خواستند از صصه بن داهر، یکی از وزرای هندی، به خاطر ابداع یک نسخه بدوی شطرنج تقدیر کنند. او نیز درخواست کرد که روی مربع اول صفحه شطرنج یک دانه گندم بگذارند، روی مربع دوم دو دانه گندم، روی مربع سوم چهار دانه گندم، و این روند دو برابر شدن را تا مربع شصت‌وچهارم ادامه دهند. طبق این افسانه پادشاه از این درخواست خاضعانه بن داهر خنده‌اش گرفت - تا اینکه خزانه‌دارانش به او گفتند که گندم کل کشور هم کفاف این کار را نمی‌دهد - ۱۸٫۴۴۶٫۷۴۴٫۰۷۳٫۷۰۹٫۵۵۱٫۶۱۵ دانه گندم در کل.

اما بررسی رسمی این انحراف توسط دانشمندان تنها در اواخر دهه اول قرن حاضر آغاز شد و پژوهش‌ها نشان داد که بیشتر مردم - مثل پادشاه صصه بن داهر - خیلی غریزی فرض می‌کنند که رشد عمدتا خطی است که باعث می‌شود سرعت رشد نمایی را شدیدا دست‌کم بگیرند.

اولویت در این مطالعات اولیه پیامدهای این انحراف برای حساب‌های بانکی مردم بود. برای مثال، به بیشتر حساب‌های پس‌انداز بهره مرکب تعلق می‌گیرد، یعنی به درآمدی که از بهره کسب کرده‌اید نیز بهره تعلق می‌گیرد. این مثالی بسیار خوب برای رشد نمایی است، و باعث می‌شود که حتی درآمد ناشی از نرخ بهره نسبتا کم نیز به مروز زمان قابل توجه شود. اگر نرخ بهره ۵ درصد باشد و شما همین امروز ۱٫۰۰۰ دلار سرمایه‌گذاری کنید، سرمایه شما بعد از یک سال ۱٫۰۵۰ دلار می‌شود و بعد از چهل سال به بیش از ۷٫۰۰۰ دلار می‌رسد. با این حال، بیشتر مردم درک درستی از فواید سرمایه‌گذاری زودهنگام ندارند و در بازنشستگی به بی‌پولی می‌خورند.
اگر تعداد دانه‌های روی صفحه شطرنج به ازای هر مربع دو برابر شود، تعداد دانه‌های مربع شصت‌وچهارم حدود ۱.۸ تریلیون خواهد بودنکته جالب اینجاست که حتی افرادی که تحصیلات زیادی دارند هم گرفتار این انحراف می‌شوند. به گفته دنیلا سله، پژوهشگر اقتصاد در موسسه فناوری فدرال زوریخ، حتی دانشجویانی که دانش ریاضی بالایی دارند هم مرتکب این اشتباه می‌شوند. او می‌گوید "تا حدی مفید است، اما مانعی بر سر راه این انحراف نیست."

دلیل این رویه شاید این باشد که آن‌ها به جای تعمق دقیق به غریزه خود اتکا می‌کنند. برای همین وقتی به خوبی می‌دانند که بهره مرکب چیست هم یادشان می‌رود که در محاسباتشان از آن استفاده کنند. مشکل اینجاست که افراد باهوش و تحصیل‌کرده عمدتا "نقطه کور انحراف" دارند، یعنی فکر می‌کنند که کمتر از دیگران گرفتار چنین اشتباهاتی می‌شوند و انحراف رشد نمایی هم ظاهرا درست وسط این نقطه کور قرار دارد.

اما بروز همه‌گیری ویروس کرونا باعث شد تا توجه دانشمندان به تاثیر این انحراف بر درک ما از بیماری‌های مسری جلب شود.

مطالعات همه‌گیرشناسی مختلفی نشان داده است که عدم دخالت مستقیم به دو برابر شدن تعداد افراد مبتلا به کووید-۱۹ ظرف سه یا چهار روز منجر می‌شود. برای همین بود که بسیاری از دانشمندان قرنطینه سریع را برای جلوگیری از شیوع انفجاری ویروس توصیه می‌کردند.

در ماه مارس، یوریس لمرس، از دانشگاه برمن ، و یان کروسیوس و آن گست، از دانشگاه کلن، در اقدامی مشترک با طرح یک پرسشنامه اینترنتی نظر مردم را درباره شیوع بالقوه ویروس کرونا جویا شدند. نتایج نشان داد که انحراف رشد نمایی در درک مردم از شیوع بیماری نقش دارد و اکثر آن‌ها سرعت رشد آن را شدیدا دست‌کم گرفته بودند. نکته مهمتر این بود که آن‌ها فهمیدند که این تخمین رابطه مستقیمی با نظر مردم درباره راه‌های درست مهار همه‌گیری دارد. هر چه بیشتر دست‌کم گرفته بودند، احتمال اینکه لزوم فاصله‌گذاری اجتماعی را درک کنند نیز کمتر بود: انحراف رشد نمایی باعث شده بود تا توصیه‌های رسمی را جدی نگیرند.
سیاستمداران معمولا از نمودارهایی استفاده می‌کنند که رشد نمایی را به خوبی نشان نمی‌دهندپژوهش‌های دیگری که توسط دانشمندان در هند و آمریکا انجام گرفته است این نتایج را تایید می‌کند؛ هر چه بیشتر مستعد این انحراف باشید، احتمال بی‌توجهی به توصیه‌های سازمان بهداشت جهانی نیز بیشتر می‌شود، از جمله استفاده از ماسک، شستن دست‌ها و غیره.

یکی از فرضیات پژوهشگران این است که شیوه نمایش گرافیکی رشد همه‌گیری در رسانه‌ها احتمالا باعث تقویت این انحراف شده است. عمدتا برای نمایش آمار مبتلایان از "مقیاس لگاریتمی" استفاده می‌شود که در آن افزایش اعداد محور عمودی نمودار به توان ۱۰ است، یعنی فاصله ۱ تا ۱۰ هیچ فرقی با فاصله ۱۰ تا ۱۰۰ ندارد.

این مقیاس شاید برای نمایش نرخ رشد مناطقی که اختلاف زیادی با یکدیگر دارند مناسب باشد، اما باعث می‌شود رشد نمایی بیش از واقعیت خطی به نظر برسد و به انحراف رشد نمایی دامن بزند. به گفته پژوهشگران استفاده از جدول‌های عددی ساده می‌تواند بسیار موثرتر باشد.

خبر خوب این است که نظرات مردم تغییرپذیر است. وقتی لمرس و همکارانش وجود انحراف رشد نمایی را به شرکت‌کنندگان گوشزد کردند و از آن‌ها خواستند که میزان شیوع بیماری را در یک بازه زمانی دو هفته‌ای محاسبه کنند، تخمین مردم به شدت بهتر از قبل شد - و این مساله به نوبه خود نظر آن‌ها درباره فاصله‌گذاری اجتماعی را عوض کرد.

آقای لمرس می‌گوید که ماهیت تصاعدی این ویروس باید در پوشش خبری همه‌گیری برجسته‌تر شود. به گفته او "به نظرم این تحقیق نشان می‌دهد که دولت و رسانه‌ها چطور باید درباره یک همه‌گیری خبررسانی کنند. ما نه تنها باید آمار امروز و رشد یک هفته گذشته را اعلام کنیم، بلکه باید توضیح دهیم که اگر روند رشد با همین شتاب ادامه پیدا کند در روزها، هفته‌ها و ماه‌های آتی چه اتفاقی خواهد افتاد."